成田 宏秋
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熊本大学大学院自然科学研究科 |
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理学専攻数理科学講座 |
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准教授 |
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教育研究分野：代数学 |
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narita ``アットマーク’’ kumamoto-u(dt)ac(dt)jp |
●RIMS研究集会「モジュラー形式と保型表現」(2015年２月開催)
●保型形式の整数論・講演会(2015年１月開催)
●第１９回整数論サマースクールについて(2011年９月開催)
専門分野：整数論，保型形式論
研究テーマ：保型形式の具体的構成とその数論的性質の研究
高度に発展した現代数学において, 整数論は数学の多様な分野と交差点を持ち, その最先端を追いかけるためには莫大な知識と深い洞察力が求められます. このような高度な発展段階にある整数論ですが, その出発点となっている問題は 極素朴なものです. 例えば, 次の二つが挙げられるでしょう. 一つは整数そのものについて知ることです. 具体的には, 様々な面白い整数 (素数, 完全数, 友愛数...)を見つけることやその分布の様子 (それがどの程度存在するかなど)について調べることなどがあります. そしてもう一つは代数方程式の解を, 整数ないしは「それに近い数の集合 (有理数体, 代数体, p進数, それらの整数環など)」に限定したところで探すことです. 一変数の方程式から始まり, それを多変数にしたり, 連立方程式にしたりすると 様々な方程式の整数解問題が考えられます.
このような問題はその見た目の素朴さにも関わらず, 実際には極めて難解であること が多く, そのような難題に立ち向かうため整数論は様々な数学を道具として受け入れて きました. 例えば上の一つ目の問題について, 興味ある整数の分布の様子を定量的に捉 えるためには, リーマンのゼータ関数やディリクレのＬ関数というある種の無限級数の 解析的性質を知ることが有効で, 整数論は解析学を研究手法の一つとして取り入れまし た(ディリクレによる解析的手法の導入). そして様々な整数論の対象について 「Ｌ関数」という無限級数を定義し, それについて理解を深めることの重要 性が認識されるようになりました. 二つ目の問題は, 代数多様体(つまり代数方程式の零点集合として記述できる「図形」) の整数点を拾う問題と見ることができ, 整数論は代数幾何学を道具として取り入れてお ります. 実際, 整数論には「数論的代数幾何学」と呼ばれる分野が存在します.
私が研究している「保型形式」は, 整数論の解析的手法を与えるもので特にＬ関数を 研究する上でその威力を発揮します. 保型形式とは複素上半平面や その一般化であるリーマン対称空間(またはそれに対応する半単純リー群)の上の 実解析的関数で「保型性」という豊富な対称性を持つものとして定義されます. この保型性という対称性が保型形式に豊かな整数論的性質を与えます.
最近, 整数論において, 様々な大予想が次々と解決ないしは解決に向けて大幅に進展 が認められているところです(Fermat予想, Serre予想, Sato-Tate予想など). こうした進展は, これまでの整数論の専門家達の気の遠くなるような努力の蓄積の上 に成り立っておりますが, いずれの進展についても保型形式が係わっております.
研究の成果
これまでの保型形式論は複素対称領域(リーマン対称空間で複素領域として実現できる もの)上の正則保型形式を主に扱っております. 実際これは複素関数論 が使えて代数幾何学との相性もよく, 恵まれた状況設定で研究できます. 正則保型形式は保型形式の中でも基本的な対象でありながら, まだ多いに研究の余地が あると言えますが, 保型形式全体の中では極一部分を占めるにすぎません.
私の問題意識は保型形式論の研究領域を非正則保型形式に拡げることです. このような問題意識の下, 最近は四元数双曲空間という複素対称領域になり得ない 対称空間(あるいは対応する単純リー群である実階数１の四元数ユニタリー群)の上の 実解析的保型形式に注目しております. これまでは「四元数離散系列表現を生成する」という表現論的特徴付けを持つ保型形式に主に着目し, その具体的構成や数論的性質についての研究を進めてきました. この保型形式は、非正則でありながら正則保型形式に振舞が近いという点で特徴的です. そして最近は一般の離散系列表現の場合に研究対象を拡げつつあるところです。わたくしはこのような非正則保型形式の研究のために, 実半単純リー群の表現論を研究道具として取り入れております. また最近では保型形式を「アデール群」上の関数として捉え, それに内在する 数論的性質を調べる困難を「各素数(または素点)ごと分割して調べる」というスタイル も取り入れて研究しております.
メッセージ
数学を本格的に勉強したいと思う方へ, 気をつけて欲しいことは, 自分がどの分野に 興味があるかをしっかり見定めることと, 数学を幅広く勉強することです. まずは, いろんな数学に触れてみてください. その中で自分と共鳴するものを 見つけたら, 講義で習ったことだけでなく自分で関連する文献を探したり 積極的に質問をするなどして, 自分なりに理解を深めてみてください. そうしたことを繰り返す中で, 自分の希望する専門分野を定めていくとよいでしょう.
そして専攻する分野を決めたときに気をつけなければならないことは, 「狭い専門家」 にならないようにすることです. つまり, 例えば「代数に進むから, 幾何や解析は 勉強しなくてよい」と考えるのは大間違いです. これは数学のどのような分野を専攻 する人にも言えることです. 実際, 私の専攻する保型形式の整数論は, 代数学のみ ならず, 複素関数論などの解析学や, 幾何学の理解も求められることがあります. 自分の希望する専門分野に偏った勉強をしても, 指導教官を困らせるだけです. 自分の希望する専門分野を一つの軸として勉強しつつ, 数学について幅広くアンテナ を張って学習を進めてみてください.